12 mai Educação Financeira

Entendendo a matemática dos juros compostos

Alberto comenta: “Navarro, decidi investigar melhor as alternativas de investimento disponíveis no mercado e percebi que muitos dos produtos oferecem rentabilidades semelhantes, com diferenças que nem sempre passam de 0,5%. Como não sei o impacto deste diferencial no futuro, peço sua ajuda. Afinal de contas, vale a pena brigar por 0,5%? Pode demonstrar, sem complicar, […]

por Conrado Navarro
há 6 anos

Juros Compostos e seu poder!Alberto comenta: “Navarro, decidi investigar melhor as alternativas de investimento disponíveis no mercado e percebi que muitos dos produtos oferecem rentabilidades semelhantes, com diferenças que nem sempre passam de 0,5%. Como não sei o impacto deste diferencial no futuro, peço sua ajuda. Afinal de contas, vale a pena brigar por 0,5%? Pode demonstrar, sem complicar, o tal juro composto? Obrigado.”

Lembro-me de uma das primeiras aulas de Engenharia Econômica Avançada, quando o ilustre Prof. José Arnaldo lançou a seguinte pergunta aos alunos da pós-graduação: “Pessoal, 0,5% é muito? É pouco? Por que”? A cada instante a palavra mudava de mãos. Cada aluno tinha tempo para comentar sua resposta, sem pressão ou impressão de certo ou errado. Os que respondiam “Depende!” ouviam, imediatamente, a réplica incisiva do professor. “Depende de quê”?

“É muito!”, respondi com convicção. Lembrei-me de quatro anos seguidos de investimentos[bb] conservadores, realizados durante meus primeiros anos de trabalho, e do aprendizado adquirido depois de confrontá-los com as opções feitas por alguns de meus familiares. Fiquei para trás, escolhi mal os produtos bancários disponíveis e senti na pele o tamanho real do meio ponto percentual comentado em sala de aula.

“É muito Conrado? Por que?”, retrucou imediatamente o mestre. “O efeito dos juros compostos transforma esse 0,5% em uma enorme diferença no futuro, para o bem ou para mal. Investi mal durante alguns anos e percebi a falta desse meio ponto percentual”, respondi. O saudável bate-papo entre alunos e professor prosseguiu e o tema foi finalmente explorado em sua forma técnica.

0,5% é muito! Vamos entender?
Os juros sobre juros representam a mágica da multiplicação do dinheiro. Einsten, do alto de sua enorme sabedoria, afirmou que esta é a força mais poderosa do universo. Vejamos, de forma simplificada, o que os juros compostos fazem se soubermos usar seu poder:

  1. Depositamos um valor em uma aplicação;
  2. Após um mês, teremos o dinheiro aplicado[bb] mais o valor dos juros;
  3. No mês seguinte, os juros incidirão sobre o montante acumulado e assim sucessivamente.

Simples, não? É como se tirássemos o dinheiro (já com os juros) todo mês e o reaplicássemos. Mas como notar, matematicamente falando, o efeito do 0,5% tão falado neste texto? A matemática dos juros compostos é simples, veja:

Equação dos Juros Compostos

Onde:
F = Valor que teremos no futuro (aquilo que queremos descobrir)
P = Valor que podemos investir no presente
i = Rentabilidade da aplicação ou investimento
n = Quantidade de períodos (tempo) em que manteremos o dinheiro investido

Um exemplo numérico bem real?
Suponha que você dispõe de R$ 10 mil para investir e são duas as alternativas presentes no momento. O Produto A oferece rentabilidade líquida mensal de 0,5%, enquanto o Produto B oferece rentabilidade líquida de 1%. Perceba que referencio a rentabilidade como líquida porque devemos, sempre, descontar a inflação do valor mensal apresentado pelos bancos e instituições financeiras.

Decidimos que este dinheiro ficará aplicado por trinta anos, já que planejamos usá-lo apenas para a aposentadoria. A equação já pode ser resolvida:

F = Vamos descobrir
P = 10.000
i = 0,005 (A) e 0,01 (B)
n = 360 meses (30 anos)

Com o produto A, teremos, ao final dos 30 anos, R$ 60.225,75. O produto B, “apenas” 0,5% mais rentável, trará um saldo final de R$ 359.496,41, cerca de seis vezes maior que o do produto A. Vale notar que essa formulação é válida para uma única aplicação investida por n períodos. Quando consideramos aplicações periódicas, como a aplicação de um montante todos meses, a conta é diferente.

E ai? 0,5% é pouco?
Para satisfazer sua curiosidade, faça suas próprias contas usando nosso simulador de juros compostos. Acesse a página de downloads e confira também os simuladores de investimentos futuros para aposentadoria. A verdade é que pequenos percentuais sempre representaram grandes oportunidades no mercado financeiro. Precisamos abraçá-las.

O artigo de hoje foi mais técnico, é verdade, mas com o único objetivo de desmistificar um pouco da matemática financeira envolvida na arte de gerir melhor nosso dinheiro. Difícil? Nem um pouco!

Conrado Navarro

Educador financeiro, tem MBA em Finanças pela UNIFEI. Sócio-fundador do Dinheirama, autor dos livros "Dinheiro é um Santo Remédio" (Ed. Gente), “Vamos falar de dinheiro?” (Novatec) e "Dinheirama" (Blogbooks), autor do blog "Você Mais Rico" do Portal EXAME e colunista da Revista InfoMoney. No Twitter: @Navarro.

Leia todos os artigos de Conrado Navarro
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  • Marina

    Fazendo cálculos de investimentos futuros para aposentadoria, uso 0,5% ao mês para calcular a renda fixa do total acumulado, mas alguns livros usam 1%. Onde consigo mais que 0,5%??? Vi alguns fundos de renda fixa e multimercado, mas eles cobram taxa de administração e IR, daí no final a poupança acaba rendendo mais.

  • http://www.investidoriniciante.com.br/ Andre Santos

    Ótimo artigo. A alguns dias atrás eu estava procurando essa formula ai, para comparar alguns investimentos em renda fixa, para diversificar e não ficar apenas na renda variável.

  • http://www.zerooitocentos.org Mestre Zen

    Fantástico, explicou de forma simples, prática e completamente compreensível até pelos mais retardados, como eu =] hehehe
    Mas, falando sério, esse blog está mais do que de parabéns, já estou estudando onde vou investir o dinheiro que estou ganhando e toda informação é bem vinda, obrigado.

  • Samurai

    quantia? Bom, como o artigo não falou e eu comentei em um outro forum sobre isso recentemente, vou aproveitar e postar aqui.

    Vamos supor que você parta de um capital inicial I, tenha uma rentabilidade média mensal de r e você faça depósitos mensais de D. Quanto dinheiro eu vou ter depois de N meses?

    Vamos lá. No primeiro mês você tinha I e fez um depósito de D. Seu dinheiro rendeu r, ou seja, você tem agora:

    (I+D)(1+r)

    Para facilitar, vamos chamar o termo (1+r) de R. Então por exemplo, se sua rentabilidade é de 1% ao mês, r = 0,01 e R = 1,01.

    Substituindo esse valor a gente chega então que ao final do primeiro mês a gente tem

    (I+D)R.

    Ótimo. No início do segundo mês você deposita mais D e isso vai render mais r. A gente tem então que no final do segundo mês:

    ([I+D]R + D)R

    Fazendo isso, no final do terceiro mês a gente vai ter:

    {[(I+D)R + D]R + D}R

    Bom. Aqui já tá suficiente pra gente ver como vai ficar. Vamos expandir esse termo:

    I*(R^3) + D*R^3 + D*R^2 + D*R^1

    Colocando D em evidência temos:

    I*(R^3) + D(R^3 + R^2 + R^1)

    Aqui já é fácil generalizar para uma quantidade de N meses. Ao final de N meses eu vou ter:

    I*(R^N) + D(R^N + R^N-1 + … + R^1)

    Bom, o primeiro termo da soma é fácil de calcular. O segundo termo não, pois é uma soma de N termos. Na realidade os termos dessa soma é uma progressão geométrica de grau R com termo inicial igual a R também. Se a gente lembrar lá do segundo grau, a soma dos termos de uma PG é dada por:

    S = (primeiro termo) * (razao^numero_de_termos – 1) / (razao – 1)

    No nosso caso o primeiro termo é R e a razão também é R. Temos então que no final do N meses a gente vai ter acumulado um capital F tal que:

    F = I(R^N) + D*R(R^N – 1)/(R – 1)

    Vamos a alguns exemplos práticos então.

    Se eu tiver um capital inicial de 0 reais e fizer depósitos de 500 reais mensais, obtendo uma taxa de juros média de 1,5% ao mês, ao final de 30 anos (360 meses) eu terei:

    F =500*1,015*(1,015^360 – 1)/(1,015 – 1) = R$ 7.162.645.

    Era isso.

  • Samurai

    Algumas coisas eu acho bem interessante de notar.

    Por exemplo, podemos ver facilmente que o resultado final é diretamente proporcional ao valor investido. Por outro lado, a relação com a taxa de juros é exponencial. Se vc investir o dobro e manter a taxa constante, o resultado final é o dobro. Se vc investir a mesma coisa mas conseguir o dobro da taxa de juros, vc ganha muito mais no longo prazo.

  • Samurai

    Para facilitar a visualização desses cálculos, eu coloquei no meu blog usando latex:

    http://demoniodemaxwell.wordpress.com/2008/05/13/juros-compostos/

  • http://dinheirama.com/blog/sobre Conrado Navarro

    Marina, obrigado pela visita e mensagem. Neste cenário de futuro e aposentadoria é importante também pensar na diversificação. Assim, se colocar um pouco do dinheiro em ações, renda fixa e outros produtos poderá chegar ao 1% ao mês.

    Andre, obrigado pela visita e pelas palavras de apoio. E parabéns pelo Investidor Iniciante.

    Mestre Zen, obrigado pela visita e pela força. Fico feliz que o artigo tenha colaborado. Sinta-se sempre em casa.

    Samurai, como sempre suas colaborações são repletas de conhecimento e importantes informações. Muito obrigado pelo apoio e por sempre participar também no fórum Sociedade Dinheirama! Valeu!

    Abraços.

  • http://glauribeiro.blogspot.com Glauciene

    Conrado,
    Parabéns pela publicação. Excelente!
    Estou vendo esse semestre na faculdade, tudo isso que foi falado e mais um pouco. Gostei muito da sua abordagem, e nossa, como tudo ficou simples!
    Mais uma vez parabenizo o blog. Acompanho já faz um tempinho e só tenho boas referências e informações.

    Abraços,
    Glau RIbeiro

  • http://profbarcia.com Marcelo

    Excelente artigo, Navarro. Você está demonstrando com seu Blog que investimneto e finanças pessoais são temas que podem ser tratados com objetividade.

    Abs,
    Prof. Barcia

  • gabriel

    nossa cara…to com um pequeno probleminha…
    como eu faço para resolver nesta parte
    -> tempo = 3 meses
    taxa = 7% a.m
    capital = 10.000,00

    ai entramos na sua formula…
    f= 10000 (1+ 0,07)³ -> 10000 x (1,07)³
    Só que eu nao to conseguindo elevar…rsrs
    muita burrice né?

    se puder me ajudar…
    falowww

  • Samurai

    Não está conseguindo elevar?

    1,07 elevado a 3 é a mesma coisa que 1,07 X 1,07 X 1,07.

    Você também pode colocar a fórmula no Excel.

  • gabriel

    é mais o negocio é que eu tava numa prova…
    ai era 1.07 elevado a 5…
    nao consegui juro que tentei
    rsrsrs

    mais valeu pela a atenção

  • cleomilton brandao

    Bom dia!

    Cara preciso da seguinte ajuda.

    Qual o juro mensal quando aplico um capital de 500 e após 365 dias eu recebo 800.

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  • marcelo

    olá! gostaria de saber quais as instituições finaceiras mais indicadas para realizar um consórcio imobiliário e automotivo. Grato

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  • Hellfire

    Socorro, hahaha.
    Não entendo nada de nada, sou “novato” nisso tudo e gostaria muito de ajuda. =-/
    Li um bocado esse blog, mas ainda tenho muitas dúvidas.
    Juros compostos! sei que são melhores do que os simples e tudo mais, mas como fazer isso? existe algo no banco que fale: “ANTA ISSO É JURO COMPOSTO FAÇA O INVESTIMENTO ASSIM!?”
    Vou citar o meu exemplo…

    Eu sou universitário e ainda desempregado, porém gostaria de ajudar os meus pais com a educação financeira e também aprender juntamente com eles.

    Obs: Não entendo nada de banco, nada nada mesmo…

    EX: Meu pai tem 10mil em um banco X, porém não fazemos depósitos mensais (ainda) e nem acompanhamos o aniversário da poupança, isso algum dia irá atingir juros compostos? como atingir os juros compostos? e a grande pergunta: Existe alguma outra forma de investir esse montante de forma segura sem que sofra variações como por exemplo a bolsa que pode até zerar o montante se mal aplicado.
    Até então a melhor forma que vi foi, começar a fazer depósitos mensais de 300reais +/- e assim ir crescendo, porém como usar juros compostos sendo que eu nem sei nada disso? fora que isso é uma coisa que demora e muuuito tempo para render algo, existe outra forma melhor?

    Desculpe a ignorância, mas é que não tenho conhecimento de nada. =-(

  • Hellfire

    Alguém pode me ajudar?

  • http://hotmail anselmo cristiano

    bom dia , gostaria de saber se deposito 500 reais todo mes a juros compostos de 0,60% a.m quanto tempo levara para eu ter um montante de 100.000 reais, por favor explique isto em uma formula,

    grato

  • Lucas

    olá, eu gostaria de saber se eu poderia no primeiro mês depositar R$ 5.000,00 e nos outros meses R$ 300,00 ou tem que ser padrão, tipo todo mês eu teria que depositar R$ 300,00. Posso variar o valor de deposito ?

  • sergio vaz vieira

    Gostaria de saber uma fórmula matemática ou uma maneira de poupar mensalmente uma certa quantia durante um certo tempo para aposentadoria e, de quanto seria essa quantia após n tempo?

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  • célia

    Bom Dia! Quero saber quais investimentos pagam juros compostos e qual o valor necessário para começar pagando taxas e obtendo lucro.

  • Wesley_eleven

    Tomei um empréstimo para ser pago em 10 prestações mensais de R$ 1.000,00 cada, a uma taxa de 3% a.m., depois de ter pagado a 6ª prestação fiquei inadimplente e não pude pagar as demais prestações. Sabe-se que o empréstimo foi realizado dois anos atrás. Quanto devo pagar hoje para liquidar sua dívida?

  • Ariel

    Gostaria de uma ajuda para solucionar este problema:
    Dois amigos aplicaram cada um, o mesmo capital, durante cinco anos à taxa de 1,5 %
    ao mês. O primeiro aplicou a juros compostos e o segundo a juros simples, o primeiro
    recebeu R$ 5.432,20 a mais de montante. Determine o valor do capital aplicado.

  • 100003657871615

    mto bom…

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